Версия для печати
1. Введение
Работа химиков, физиков и
представителей других естественно-научных профессий часто связана с
выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает
вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов
непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых
используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний
процесс также называется обработкой результатов косвенных измерений). По целому ряду объективных причин знания
выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда
достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из
таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по
статистической обработке результатов измерений.
К
данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен
исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок,
учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете
погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено
дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство
работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение
выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание
краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто
употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.
2. Обозначения, принятые в данной работе
-измеряемая величина, -среднее значение измеряемой величины, - абсолютная погрешность среднего значения измеряемой
величины, - относительная
погрешность среднего значения измеряемой величины.
3. Расчет погрешностей непосредственных измерений
Итак, предположим, что были
проведены n измерений
одной и той же величины в
одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение
этой величины в проведенных измерениях:
(1)
Как вычислить погрешность ? По следующей формуле:
(2)
В этой формуле используется
коэффициент Стьюдента . Его значения при разных доверительных вероятностях и
значениях приведены в
таблице.
3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных
измерений:
Задача.
Проводили измерения длины металлического бруска. Было сделано 10
измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм,
10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение измеряемой величины (длины бруска) и его
погрешность .
Решение.
С использованием формулы (1)
находим:
мм
Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную
погрешность среднего значения при доверительной вероятности и числе степеней
свободы (используем
значение =2,262, взятое из таблицы):
Запишем результат:
=10,8±0,70.95 мм
4. Расчет погрешностей косвенных измерений
Предположим, что в ходе эксперимента
измеряются величины , а затем c использованием полученных значений вычисляется
величина по формуле .
При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так,
как это было описано в пункте 3.
Расчет среднего значения
величины производится по
зависимости с использованием средних значений
аргументов .
Погрешность величины рассчитывается по
следующей формуле:
, (3)
где -
количество аргументов , - частные производные функции по аргументам ,
- абсолютная
погрешность среднего значения аргумента .
Абсолютная погрешность, как и в
случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле .
4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных
измерений:
Задача.
Было проведено 5 непосредственных измерений величин и . Для величины получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для
величины получены значения:
500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины , определяемой по формуле и найти погрешность
полученного значения.
Решение.
По формуле (1) найдем средние
значения величин и :
Вычисляем :
Находим
в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы значение . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних
значений величин и :
С использованием формулы (3)
находим относительную погрешность среднего значения величины :
Найдем абсолютную погрешность
среднего значения величины :
Запишем результат:
© Баронов С.Б.
Версия для печати
|