Конспект лекций по математическому анализу. 3 семестр, лектор Ю.Н. Макаров.

Лекции 1,2

Ряды. Дифференциальные уравнения.

Ряды.

Примеры рядов.

Гармонический ряд.

x(a)= Дзета функция Риммана.

А=а₁+а₂+а₃+…=

Числовой ряд —бесконечная упорядоченная сумма чисел.

1-1+1-1+1-1+1-1+…

А_n=а₁+а₂+а₃+…+а_n

{An}—последовательность частичных сумм.

Числовой ряд А сходится, если —сумма сходящегося числового рядя. Если, то ряд А расходится.

1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)

В целом различают несколько основных типов задач:

1) Исследование сходимости ряда.

2) Нахождение суммы.

3) Разложение данной функции в ряд.

Например.

Критерий Коши сходимости ряда.

" e>0 $ n₀ , такое что "n>m³n0: |An-Am|<e.

An=a₁+a₂+…+a_n

Am=a₁+a₂+…+a_m следовательно An-Am=a_m+1+…+a_n

" e>0 $ n₀, такое что "n>m³n0 => | a_m+1+…+a_n |<e.

Тогда говорят, что последовательность A_n—фундаментальна.

Пример

Гармонический ряд.

Зафиксируем e=0.5, m³n₀, n=2m

| a_m+1+…+a_n |= =>ряд расходится.

Всего m слагаемых

|a_n|<e~ —необходимый признак сходимости числового ряда.

Д-во: n=m+1 "e>0, $ n₀ =>"n³n0:

Следствие 1 А= В=

$ n₁:" n³n₁ => a_n=b_n

Тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)

n₀³n₁ | a_m+1+…+a_n |=| b_m+1+…+b_n |

Следствие 2

A= B=, b_n=ka_n, n³1, k¹0, тогда A~B

Следствие 3 Если сходится, то сходится. При этом говорят, что ряд сходится абсолютно.

| a_m+1+…+a_n |≤|a_m+1|+|a_m+2|+…+|a_n|<e a_n>0

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Признаки сравнения.

а) A= , B=

0<a_n≤b_n

B—сход. =>A—сходится

Для доказательства применим критерий Коши:

| a_m+1+…+a_n |=a_m+1+a_m+2+…+a_n≤b_m+1+b_m+2+…+b_n<e

б) предельный

Доказательство: из существования предела следуют неравенства:

тогда по признаку сравнения (а) A~B
Пример. ζ(α)= , рассмотрим как ведёт себя этот ряд в зависимости от α. При α=1 ряд расходится (гармонический).(Было доказано ранее).

Для α<1 => расходится по признаку сравнения а.

Для α>1

Пусть

, т.е. В— сходится, значит по признаку сравнения ряд ζ(α) при α>1 то же сходится.

Таким образом

α≤1 расходится

ζ(α)=

α>1 сходится

в) признак Деламбера

Пусть , a_n>0, n=1,2,3…, Тогда:

l<1 =>A сходится

l>1 =>A расходится

l=1 =>вопрос о сходимости остаётся открытым

Д-во

1) l<1, l+e<1, , n≥n₀

Перемножая все эти неравенства получим: значит a_n<c(l+e)ⁿ,n>n₀

т.к. l+e<1 то ряд сходится (по ризнаку сравнения а).

2) l>1 => a_n+1>a_n=> a_n не стремится к нулю => ряд расходится.Т.к не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Признак Коши (радикальный).

Пусть А= , a_n>0

и $тогда при l<1 А сходится, l>1 А расходится, при l=1 вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Д-во

1)l<1

Выберем e : e+l<1 тогда из определения предела:

, значит a_n<(l+e)ⁿ, n³n₀ полученна геомнтрическая прогрессия с q<1 следовательно, ряд сходится (q=λ+ε).

2)l>1

a_n>1, n ³n₀ значит, , следовательно, не выполнен необходимый признак сходимости числового ряда.

Пример:

ряд сходится (по Деламберу)

Признак сравнения 3.

Пусть А= , В=, a_n>0, b_n>0.

тогда A~B

Д-во:

После почленного перемножения получим:

так как a₁/b₁=const, и B сходится,

то и А сходится.

Признак Куммера.

Пусть А= , a_n>0 (" n³n0), и {b_n} последов-ть чисел, b_п>0 такая, что ряд

расходится, и $ . Тогда если δ>0 то ряд А сход., если δ<0 то ряд А расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости рядя остаётся открытым.

Д-во.

1)δ>0, выберем e=δ/2 тогда, по определению предела

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1>δ-e=δ/2 "n³n₀

обозначим c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1>δ*a_n+1/2

и докажем сходимость ряда , так как c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1= δ *a_n+1/2>0, то

a_nb_n>a_n+1b_n+1, так как {a_nb_n} монотонно убывающая, ограниченная нулём послед..

S_n=c₁+…c_n=(a₁b₁-a₂b₂)+(a₂b₂-a₃b₃)+…+(a_nb_n-a_n+1b_n+1)=a₁b₁-a_n+1b_n+1

значит ряд c_n сходится, δa_n+1/2 тоже сходится (по признаку сравнения) т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A сходится.

2)δ<0 тогда,

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1<0 => , "n³n₀, значит

по условию ряд 1/b_n —расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и исследуемый ряд А.

Следствие 1 (признак Деламбера).

Возьмём b_n=1, тогда

Если δ>0, то l<1 и ряд А сходится.

δ<0, то l>1 и ряд А расходится.

Следствие 2 (признак Раабе)

Пусть b_n=n

, ,

обозначим α=δ+1, тогда , значит при α>1 (δ>0) ряд сходится, при α<0(δ<1)рас.

Следствие 3.

=> A-расходится.

Применим к исслед. ряду признак Куммера (b_n=n*ln(n) (доказательство расходимости данного ряда см. ниже). Тогда

b_na_n/a_n+1-b_n+1=n*ln(n)*(1+1/n+e_n)-(n+1)ln(n+1)=(n+1)(ln(n)-ln(n+1))+n*ln(n)*e_n=

=-nln(1+1/n)-ln(1+1/n)+n*ln(n)*e_n→-1, т.к. первое из слагаемых стремится (при n стремящемся к бесконечности) к-1, второе к 0, и 3 к нулю (т.к.lnn/n-> к 0).

Признак Гауса.

Пусть , важно, что бы остаток был именно в таком виде.

Тогда,

1) β<1 A —расх.

2) β>1 A —сход.

3) β=1 α≤1 A — расх.

α>1 A —сход. Доказательство следует из следствий 1-3.

Пример.

1-α>1 ~ α<0, A —сход.

1-α<1 ~ α>0, A —расх.

При α=0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно схходится..

Интегральный признак. (Коши-Маклорена)

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при (или начиная с некоторого x>0). Тогда ряд ~

Д-во.

Лемма. Пусть A_n=a₁+…+a_n — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда A_n<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае последовательность A_n убывающая и ограниченная.

Тогда , или . Поэтому если сходится, то

. Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Пример.

~ => ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.

Расходимость ряда nlnn

=> ряд расходится.