1)
Разложим на множители:
при x =a 1 =A( b-a )
A=–1/(a–b)
при x = b 1= B(a–b) B=1/(a–b)
В точке (0,0) частное
решение исходного уравнения:
2)Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.
Составим дифференциальное
уравнение:
1) Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 20 л раствора.
Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли
;
;
; при t
= 0 x(t )=10
C =
1000
4)Найти точный закон радиоактивного распада, если t0–период полураспада., а x0– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.
Задано, что х (0)=х0; x(t0)= х0/2;
Таким образом закон распада:
такие уравнения в общем виде могут ыть представлены как:
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она
удовлетворяла условию:
Берем любую функцию,
удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное
уравнение
Пример
Замена: y = UV
Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не
надо добавлять константу: Подставим в исходное уравнение:
Следовательно,
Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она
удовлетворяла условию:
Берем любую функцию,
удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное
уравнение
из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.
Пример
Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени.
Сделаем замену переменных: и подставим
Где примем замену: α=
Всегда
можно ввести ω0 (собственная
частота):
При больших t стремится к нулю
Уравнение Лагранжа имеет вид , где
-
дифференцируемая функция. Решение
находится в параметрическом виде
Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр
, получаем
(т.е.
, как раз оставшийся случай),
или
. Тогда, если
, то
и
- это общее решение
уравнения Клеро (прямые линии). Если же
, то
. Тогда
.
Общее решение
уравнения будет:
; особое решение : 0=x + 2C
Проверим, что
последняя функция действительно является решением исходного уравнения:
Дифференциальное уравнение n-ного порядка
Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых
постоянных):
Либо общее решение может быть найдено в явном виде:
Пример
Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V0=С1 y0=С2
Чтобы решить задачу Коши для
дифференциального уравнения 1-го порядка: , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую),
проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х0)= y0.
Но в случае дифференциального уравнения n-го порядка задать надо n условий. В этом состоит задача Коши.
Теорема.
Пусть функция определена и
непрерывна в области
. Пусть
непрерывны в
. Тогда задача Коши,
состоящая в нахождении решения уравнения
с начальными условиями
(где точки
принадлежат области
) имеет, притом единственное решение, в окрестности x=x0. Теорема сформулирована без доказательства.