1)
Разложим на множители:
при x =a 1 =A( b-a )A=–1/(a–b)
при x = b 1= B(a–b) B=1/(a–b)
В точке (0,0) частное решение исходного уравнения:
2)Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.
Составим дифференциальное уравнение:
1) Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 20 л раствора.
Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли
; ;
; при t = 0 x(t )=10C = 1000
4)Найти точный закон радиоактивного распада, если t0–период полураспада., а x0– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.
Задано, что х (0)=х0; x(t0)= х0/2;
Таким образом закон распада:
такие уравнения в общем виде могут ыть представлены как:
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:
Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение
Пример
Замена: y = UV
Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу: Подставим в исходное уравнение:
Следовательно,
Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:
Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.
Пример
Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени.
Сделаем замену переменных: и подставим
Где примем замену: α=
Всегда можно ввести ω0 (собственная частота):
При больших t стремится к нулю
Уравнение Лагранжа имеет вид , где - дифференцируемая функция. Решение находится в параметрическом виде
Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем (т.е. , как раз оставшийся случай), или . Тогда, если , то и - это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же , то . Тогда .
Общее решение уравнения будет: ; особое решение : 0=x + 2C
Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения:
Дифференциальное уравнение n-ного порядка
Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых
постоянных):
Либо общее решение может быть найдено в явном виде:
Пример
Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V0=С1 y0=С2
Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х0)= y0.
Но в случае дифференциального уравнения n-го порядка задать надо n условий. В этом состоит задача Коши.
Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в области . Пусть непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения с начальными условиями (где точки принадлежат области ) имеет, притом единственное решение, в окрестности x=x0. Теорема сформулирована без доказательства.