Лекция 8 

           1)            

Разложим на множители:

       при x =a     1 =A( b-a )A=–1/(ab)

                                                                                          при x = b   1= B(a–b) B=1/(a–b)

 

В точке (0,0) частное решение  исходного уравнения:

 

 

2)Найдем  закон Т(t) остывания  кипящей воды  до комнатной температуры (tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.

Составим дифференциальное уравнение:             

    

 

1)      Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 20 л раствора.

Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t       x(0)=0, x(t)– количество соли

  ;                 ;                     

     ; при t = 0   x(t )=10C = 1000

 

4)Найти точный закон радиоактивного распада, если t0–период полураспада., а x0– начальное количество. Причем известно, что  мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.

                            

Задано, что  х (0)=х0; x(t0)= х0/2;

Таким образом закон распада:

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

 такие уравнения  в общем виде могут ыть представлены  как: 

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

 Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение          

Пример

     Замена: y = UV 

Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу:          Подставим в исходное уравнение:

Следовательно,

Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

 Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение           из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим  у.

Пример

Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти  зависимость мгновенной силы тока от времени.

Сделаем замену переменных:   и подставим

Где примем замену: α=

                

*       

Всегда можно ввести ω0  (собственная частота):          

* При больших t стремится к нулю 

 

Уравнение Лагранжа имеет вид , где  - дифференцируемая  функция. Решение находится в параметрическом виде

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем  (т.е. , как раз оставшийся случай),  или . Тогда, если , то  и  - это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же , то . Тогда .

Пример

  Общее решение уравнения будет: ; особое решение : 0=x + 2C

  Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения: 

 

 Дифференциальное уравнение n-ного порядка

Общее решение в неявном виде (должно содержать n произвольных независимых постоянных):

Либо общее решение может быть найдено в явном виде:

Пример

Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V01   y02

Чтобы решить задачу Коши для  дифференциального уравнения 1-го порядка:  , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y0)= y0.

Но в случае дифференциального уравнения n-го порядка  задать надо n условий. В этом состоит задача Коши.

Теорема. Пусть функция  определена и непрерывна в области . Пусть  непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения  с начальными условиями  (где точки  принадлежат области ) имеет, притом единственное решение, в окрестности x=x0. Теорема сформулирована без доказательства.