Лекция №10.
4.10.2002
Начальные условия:
Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Теорема: Решения уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .
Теорема: Для любого линейного
однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная
система его решений.
Доказательство: Пусть
Тогда определитель Вронского запишется так:
Систем линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
Частные случаи:
n = 2:
:
|
ПРИМЕР:
|
Поэтому
определитель Вронского запишется так:
|
Общее решение:
|
|
|
Общее решение:
В общем виде:
Решение надо искать в виде
Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))
– линейно независимы
;
(по формуле Лейбница).
Общее решение – многочлен k-й степени от аргумента в зависимости от вида частного решения:
Аналогично находятся фундаментальные решения для остальных корней