Лекция  №10.

4.10.2002

Фундаментальная система решений линейного

однородного уравнения

 

Начальные условия:                

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема: Решения  уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского  отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений.

Доказательство: Пусть

Тогда определитель Вронского запишется так:

Систем линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Частные случаи:

n = 2:

:

 

ПРИМЕР:

 

Поэтому определитель Вронского запишется так:

Общее решение:

 

 

 

 

Общее решение:

 

В общем виде:

 Решение надо искать в виде

Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))

 – линейно независимы

 

 

;

 (по формуле Лейбница).

Общее решение – многочлен k-й степени от аргумента в зависимости от вида частного решения:

Аналогично находятся фундаментальные решения для остальных корней