Опр: множество КRn
называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит в ограниченном
объеме и содержит все свои предельные точки.
Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с границами.
Опр: множество DRn называется связным, если не выполняется следующее свойство:
D1 , D2
– открытые непустые множества:
D1
D
Ø, :
D2
D
Ø
, D
D1
D2,
D1
D2
=Ø
рис.1
несвязное множество D
Пример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные компакты на плоскости– квадрат и круг с границами.
Свойства компактов К1 и К2:
1. К1 К2 также является компактом.
2. К1
К2 –компакт
рис.2
Пусть КPn
, где Pn–многоугольник;
либо совокупность многоугольников, если К состоит из нескольких несвязных
частей. Площадь многоугольника Pn
можно найти сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): Sn=
.
Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(Pn).
Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и ограничена снизу нулем.
Свойства S(K):
Примеры:
График непрерывной функции y = f(x) С[a,b]:
1. K = {(x,y): x [a,b] ; y = f(x)};
докажем, что S(K) = 0.
рис.3
Делим отрезок
[a,b] на n равных частей, пусть mi = f(x);
Mi = f(x);
f(x) равномерно непрерывна на [a,b]
(теорема Кантора)
> 0
n0
n0:
Mi - mi<
.
Рассмотрим K Pn
:
S (Pn)= при
Следовательно, S(K)=0.
2. f(x)C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x
[a,b] ;0
y
f(x)};
Площадь под кривой y = f(x), x
[a,b] .
Докажем, что S(K) =
рис.4
Mi = f(x)
S (Pn)=
(интеграл существует,
т.к. всякая непрерывная функция
интегрируема).
на рис.5 изображен компакт К.
Дадим определение :
Зададим разбиение Т компакта К:
Т –разбиение компакта
К: {K = Ki: S(Кi
Кj) = 0, i
j}
Выбираем некоторую точку Р(), принадлежащую компакту Кi ,
и зададим
интегральную сумму
S (T)= ,
Обозначим: d(Ki)=max(),
где -расстояние и диаметр разбиения: d(T) =
.
=
, если такой предел существует.
Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в иррациональных точках значение ноль).
1. = S(K), если f(x,y)
1
2. S(K) = 0=0, где f-
любая ограниченная функция
3. =
+
4.S(К1 К2 )=0
+
5.mf(x,y)
M
mS(K)
MS(K)
6.
Если К- связный компакт и f(x,y)C(K), то
доказательство
свойств 1-5:
1.
=
S (Т)=
=S(K)
2. S(K)=0,
следовательно, для любого разбиения Т: S(Ki)=0
S (Т)= = 0
3. S (Т)= =
S(T,f) +
S(T,g)
+
.
4. S (Т)= +
+
+
5. mf(x,y)
M
S (Т)=
mS(K)=m=MS(K)
mS(K) MS(K)
6. m, где функция f
определена на связном компакте и принимает все
значения между M и m.
Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К: (f(x,y)>0)
V=– объем цилиндроида, изображенного на рис.6
рис.6
Теорема без (док-ва): Если
f(x,y)-непрерывна на К, то существует .
Теорема: Если К = К1
К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2,
т.к. S(K2)=0
=