Лекция 8.
Формула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:
Определение. Назовем
ротором величину:
(Существует и другое обозначение ротора: . По существу, ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор в данной точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.
Γ+ S
|
Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий. Формула Стокса имеет вид:
|
Связь ориентации нормали с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали . Другой способ: если смотреть из конца вектора , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде:
Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода.
Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.
Представим поле в виде суммы: ; ; ; . Доказательство проведем для каждого из полей , и по отдельности.
Ротор
поля : . Будем считать, что поверхность S задается системой уравнений: Обход
контура ∂D+ осуществляется против
часовой стрелки – область D остается слева от
контура.
Правая часть формулы:
Левая часть - , в пространстве переменных u,v будет иметь вид: . Отсюда по формуле Грина
Вычислим производные по u и v. Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей и .
Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты
Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.
При каких условиях справедливо ?
Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:
1.
2.
3. (отличие случая пространства от плоскости)
4. Существует такая функция , что . Функцию называют потенциалом данного поля.
В этом случае - разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-Лейбница).
Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл не зависит от траектории.
Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).
Вычислить (интеграл берется по окружности). Попробуем применить формулу Грина: . Вычислим произведение ротора поля на вектор нормали: . Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:
Область должна быть односвязной,
т.е. внутри окружности все функции должны быть непрерывны. Но и . Чтобы интегрировать, нужно удалить из рассмотрения точку
(0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно
привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).