Лекция 8.
Формула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:
Определение. Назовем
ротором величину:
(Существует и другое обозначение
ротора: . По существу, ротор является «векторным произведением»
оператора Гамильтона на вектор
в данной точке
пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.
Γ+ S |
Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали. Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий. Формула Стокса имеет вид: |
Связь ориентации нормали с направлением обхода можно осуществить при помощи «правила
буравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению
обхода Γ+ указывает направление вектора нормали
. Другой способ: если смотреть из конца вектора
, то обход Γ+ будет осуществляться против
часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другом виде:
Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интеграл первого рода.
Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.
Представим поле в виде суммы: ;
;
;
. Доказательство проведем для каждого из полей
,
и
по отдельности.
Ротор
поля
:
. Будем считать, что поверхность S задается системой уравнений:
Обход
контура ∂D+ осуществляется против
часовой стрелки – область D остается слева от
контура.
Правая часть формулы:
Левая часть - , в пространстве переменных u,v будет иметь вид:
. Отсюда по формуле Грина
Вычислим производные по u и v. Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей
и
.
Формула Грина является частным
случаем формулы Стокса. Рассматривается случай плоской поверхности, вектор
нормали имеет координаты
Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.
При каких условиях справедливо ?
Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:
1.
2.
3. (отличие случая пространства от плоскости)
4. Существует такая функция , что
. Функцию
называют потенциалом
данного поля.
В этом случае - разность потенциалов
(аналог формулы Ньютона-Лейбница).
Для
доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю,
то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл не зависит от
траектории.
Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).
Вычислить (интеграл берется по
окружности). Попробуем применить формулу Грина:
. Вычислим произведение ротора поля
на вектор нормали:
. Следует ли отсюда, что интеграл по окружности равен нулю?
Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:
Область должна быть односвязной,
т.е. внутри окружности все функции должны быть непрерывны. Но и
. Чтобы интегрировать, нужно удалить из рассмотрения точку
(0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можно
привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).